6.7 KB · ⇊ 2 parts · ⤓ Micron 6.7 KB · ⤓ HTML 58.9 KB

top

Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876cite-ref-1[1]cite-ref-2[2] eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in der klassischen Mechanik. Er lässt sich auch im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik formulieren.

Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems über die Lagrangefunktion L = T − − V {\displaystyle L=T-V} (mit T {\displaystyle T} der kinetischen Energie und V {\displaystyle V} der potentiellen Energie), wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten q i {\displaystyle q_{i}} (und q i ˙ ˙ {\displaystyle {\dot {q_{i}}}} für die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit) aufgefasst wird (wobei der Index i {\displaystyle i} die Komponenten bezeichnet). Dann kann man geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte über eine nicht-konservative generalisierte Kraft Q i ∗ ∗ {\displaystyle Q_{i}^{*}} auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berücksichtigen (siehe auch den Artikel Lagrange-Formalismus):

d d t ∂ ∂ L ∂ ∂ q i ˙ ˙ − − ∂ ∂ L ∂ ∂ q i = d d t ∂ ∂ T ∂ ∂ q i ˙ ˙ + ∂ ∂ T ∂ ∂ q i − − ∂ ∂ V ∂ ∂ q i = Q i ∗ ∗ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{*}}

Rayleigh machte nun für die Reibungskraft F i {\displaystyle F_{i}} in euklidischen Koordinaten r i {\displaystyle r_{i}} (mit zugehöriger euklidischer Geschwindigkeit v i {\displaystyle v_{i}} ) folgenden Ansatz:

F i = − − ∑ ∑ j K i j v j {\displaystyle F_{i}=-\sum _{j}\,K_{ij}\,v_{j}}

mit der Dissipationsmatrix K i j {\displaystyle K_{ij}} . Die zugehörige Dissipationsfunktion

K = 1 2 ∑ ∑ i , j K i j v i v j {\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j}\,K_{ij}\,v_{i}\,v_{j}}

ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrixcite-ref-3[3]

K = 1 2 ∑ ∑ i k i v i 2 {\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i}\,k_{i}\,v_{i}^{2}}

Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach:

F i = − − ∂ ∂ ∂ ∂ v i K {\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}K}

Beim Übergang zu generalisierten Koordinaten q i {\displaystyle q_{i}} ergibt sich

Q i ∗ ∗ = ∑ ∑ j F j ∂ ∂ r j ∂ ∂ q i {\displaystyle Q_{i}^{*}=\sum _{j}\,F_{j}\,{\frac {\partial r_{j}}{\partial q_{i}}}}

Wegen v i ( t , q , q ˙ ˙ ) = ∑ ∑ k ∂ ∂ r i ∂ ∂ q k q k ˙ ˙ + ∂ ∂ r i ∂ ∂ t {\displaystyle v_{i}(t,q,{\dot {q}})=\sum _{k}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}\,{\dot {q_{k}}}+{\frac {\partial r_{i}}{\partial t}}} gilt:

∂ ∂ v i ∂ ∂ q k ˙ ˙ = ∂ ∂ r i ∂ ∂ q k {\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{k}}}}}={\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}}

und damit

Q i ∗ ∗ = − − ∑ ∑ j ∂ ∂ K ∂ ∂ v j ∂ ∂ v j ∂ ∂ q i ˙ ˙ = − − ∂ ∂ K ∂ ∂ q i ˙ ˙ {\displaystyle Q_{i}^{*}=-\sum _{j}\,{\frac {\partial K}{\partial v_{j}}}\,{\frac {\partial v_{j}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}

Daneben kann es auch andere, nicht durch einen Rayleigh-Ansatz beschreibbare nicht-konservative generalisierte Kräfte zur Beschreibung von Reibung geben.

Gegeben die Rayleighsche Dissipationsfunktion

F = 1 2 ∑ ∑ i , j = 1 n k i j q ˙ ˙ i q ˙ ˙ j {\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}k_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}

mit n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } und Koeffizienten k i j ∈ ∈ R {\displaystyle k_{ij}\in \mathbb {R} } lässt sich für

T = T ( q ˙ ˙ i , q i ) {\displaystyle T=T({\dot {q}}_{i},q_{i})} und V = V ( q i ) {\displaystyle V=V(q_{i})}

die zeitliche Änderungsrate der Gesamtenergie durch Reibung wie folgt angeben:cite-ref-4[4]

d ( T + V ) d t = − − 2 F {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T+V)}{\mathrm {d} t}}=-2{\mathcal {F}}}

In Ausdrücken von gegen Reibung verrichteter Arbeit ergibt sich für die Leistung P {\displaystyle P} :

d W = − − ∑ ∑ i = 1 n Q i ∗ ∗ d q i = − − ∑ ∑ i , j = 1 n k i j q ˙ ˙ i q ˙ ˙ j d t = − − 2 F d t ⇒ ⇒ d W d t = P = − − 2 F {\displaystyle \mathrm {d} W=-\sum _{i=1}^{n}Q_{i}^{*}\mathrm {d} q_{i}=-\sum _{i,j=1}^{n}k_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\mathrm {d} t=-2{\mathcal {F}}\mathrm {d} t\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=P=-2{\mathcal {F}}}

wobei die generalisierten Kräfte beschrieben sind durch

Q i ∗ ∗ = − − ∂ ∂ F ∂ ∂ q ˙ ˙ i {\displaystyle Q_{i}^{*}=-{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} .

• Literatur

• Einzelnachweise

• Ettore Minguzzi: Rayleigh’s Dissipation Function at Work. In: European Journal of Physics. Band 36, Nr. 3, 2015, 035014, arxiv:1409.4041.

cite-note-11. ↑ Rayleigh, Some general theorems related to vibration, Proc. London Math. Soc. s1-4, 1877, S. 357–368

cite-note-22. ↑ Lord Rayleigh, The theory of Sound, Macmillan 1877, Band 1, Kapitel 4, Paragraph 81

cite-note-33. ↑ So in Goldstein, Klassische Mechanik, 8. Auflage, Aula-Verlag 1985, S. 24

cite-note-44. ↑ Alessandra Celetti: Conservative and Dissipative Models of Celestial Mechanics. Springer, Cham 2025, ISBN 978-3-03201865-6, S. 15–18.